Hipoteza błądzenia losowego: pijak, pierwiastek z n i rachunek za spread

Jeśli kurs jest błądzeniem losowym, to połowa branży sprzedaje rzut monetą — po cenie spreadu. Warto wiedzieć, na czym dokładnie polega ten zarzut, zanim się go odrzuci albo przyjmie. Bo z tej samej matematyki wynika też, ile sesji trzeba, żeby jakakolwiek krzywa wyników — łącznie z naszą — cokolwiek znaczyła.

1 · Co dokładnie głosi hipoteza

Hipoteza błądzenia losowego (random walk hypothesis) mówi, że cena instrumentu finansowego powstaje w procesie stochastycznym: kolejna wartość to wartość poprzednia powiększona o zmienną losową o wartości oczekiwanej zero. Formalnie:

P_t+1 = P_t + ε_t,   E[ε] = 0

Trzy słowa robią tu całą robotę. Wartość oczekiwana zero — nie znaczy „cena stoi w miejscu", tylko „nie da się przewidzieć znaku następnego ruchu na podstawie poprzednich". Poprzednia wartość — historia wpływa na poziom, ale nie na kierunek. I zmienna losowa — czyli wszystko, co analiza techniczna próbuje nazwać formacją.

Hipoteza jest blisko spokrewniona z hipotezą rynku efektywnego, ale to nie to samo. Rynek efektywny mówi, że cena zawiera dostępne informacje. Błądzenie losowe mówi coś węższego i brutalniejszego: wykres, na który patrzysz, nie zawiera informacji o tym, co zrobi jutro.

Pomysł nie jest nowy. Francuski matematyk Louis Bachelier opisał go w rozprawie doktorskiej w 1900 roku — pięć lat przed pracą Einsteina o ruchach Browna, którą dziś uważa się za fundament tej samej matematyki. Do szerokiej świadomości trafił dopiero w 1973 roku, dzięki książce Burtona Malkiela A Random Walk Down Wall Street (po polsku: Błądząc po Wall Street. Dlaczego nie można wygrać z rynkiem?), która doczekała się kilkunastu wydań i jest chyba najczęściej kupowaną książką, której tezy czytelnik nie zamierza zaakceptować.

2 · Pierwiastek z n, czyli dlaczego trend jest krótszy, niż się wydaje

Najprostszy model: punkt startowy, stała długość kroku, kierunek losowany symetrycznie. Kluczowa własność takiego procesu jest kontrintuicyjna i daje się policzyć na kartce. Średnia odległość od punktu startu po n krokach nie rośnie liniowo, tylko jak √n.

Przełóżmy to na EURUSD. Przyjmijmy średni dzienny zasięg 70 pipsów — wartość zbliżona do tego, co widuje nasz silnik przy liczeniu ATR(14).

Horyzont	Suma ruchów dziennych	Oczekiwane przesunięcie netto
1 sesja	70 pipsów	70 pipsów
4 sesje	280 pipsów	70 × √4 = 140 pipsów
25 sesji (miesiąc)	1 750 pipsów	70 × √25 = 350 pipsów
250 sesji (rok)	17 500 pipsów	70 × √250 ≈ 1 107 pipsów

Rynek przez rok „przejeżdża" siedemnaście i pół tysiąca pipsów, a kończy średnio jedenaście setek od miejsca startu. Reszta to ruch tam i z powrotem — dla dostawcy płynności przychód, dla klienta koszt. Sam wykres wygląda przy tym całkowicie przekonująco: symulacje błądzenia losowego produkują trendy, korekty, wsparcia i podwójne szczyty w ilościach hurtowych. Formacje są prawdziwe. Prawdziwa jest też ich zerowa wartość predykcyjna, jeśli hipoteza jest słuszna.

3 · Pijak wraca do domu (twierdzenie Pólyi)

Klasyczny obrazek: nietrzeźwy przechodzień w nieskończonym mieście o regularnej siatce ulic. Na każdym skrzyżowaniu wybiera kierunek losowo. Pytanie: czy trafi do domu?

George Pólya udowodnił w 1921 roku, że w jednym i w dwóch wymiarach — prawie na pewno tak, prawdopodobieństwo powrotu wynosi 1. W trzech wymiarach już nie: prawdopodobieństwo powrotu do punktu startu spada do około 34%. Stąd żart przypisywany Shizuo Kakutaniemu, że pijany człowiek trafi do domu, a pijany ptak — niekoniecznie.

Cena jest jednowymiarowa. Wniosek jest więc dobry, ale w przewrotny sposób: kurs prawie na pewno wróci do poziomu Twojego wejścia. Matematyka nie precyzuje jedynie, kiedy — a depozyt zabezpieczający, w odróżnieniu od pijaka, ma skończoną cierpliwość. To cała różnica między „mam rację" a „mam rację i nadal mam pozycję". Model nie zna pojęcia margin call; Twój broker owszem.

Uogólnienie na graf — miasto o nieregularnej siatce, gdzie ze skrzyżowania wybiega siedem ulic, każda z prawdopodobieństwem 1/7 — zachowuje ten wynik przy dość łagodnych założeniach. Jest to zresztą jeden z ładniejszych dowodów w probabilistyce: zastępuje się każdą ulicę rezystorem i bada opór między punktem a nieskończonością. Powrót jest pewny wtedy i tylko wtedy, gdy opór jest nieskończony. Rynek jako obwód elektryczny — metafora nieprzypadkowo trafna dla kogoś, kto płaci za każdy przepływ.

4 · Od pyłku Browna do wykresu 5-minutowego

W 1827 roku brytyjski botanik Robert Brown zauważył pod mikroskopem, że pyłki zawieszone w wodzie poruszają się bezustannie i chaotycznie. Ruch nie słabnie, jest tym szybszy, im mniejsza cząstka i im wyższa temperatura. Dziś wiemy, że to efekt zderzeń z cząsteczkami płynu — czyli suma ogromnej liczby drobnych, nieskoordynowanych uderzeń.

Analogia z rynkiem jest niemal jeden do jednego: kurs jest cząstką, a zlecenia — cząsteczkami wody. Im mniejszy instrument (niższa płynność), tym gwałtowniejszy ruch. Im wyższa „temperatura" (zmienność, dane makro), tym większa amplituda. I ta sama pułapka poznawcza: obserwator widzi tor, który wygląda na celowy, choć powstał z uderzeń w losowych kierunkach.

5 · Rachunek: ile kosztuje losowość

Załóżmy na chwilę, że hipoteza jest prawdziwa w wersji twardej: przewaga kierunkowa równa zeru. Wynik oczekiwany transakcji to wtedy dokładnie minus koszt transakcyjny. Policzmy.

Rok handlu jedną transakcją dziennie na EURUSD, spread 0,6 pipsa:

250 sesji × 0,6 pipsa = 150 pipsów rocznie
przy 1 lota standardowego ≈ 1 500 USD kosztu, przy zerowej przewadze

Czyli: nie tracisz na rynku. Tracisz na dostępie do niego. To jest właśnie ta rzecz, którą tabelka „0 zł prowizji" u brokera pomija.

Ile przewagi trzeba, żeby wyjść na zero? Przy symetrycznej wypłacie (średni zysk = średnia strata = W) i spreadzie s próg skuteczności to:

p = (W + s) / 2W = 0,5 + s / 2W

Dla ruchu sesyjnego W = 60 pipsów i spreadu s = 0,6:

p = 0,5 + 0,6/120 = 0,505 → 50,5%

To dobra i zła wiadomość naraz. Dobra: próg jest zaskakująco nisko, wystarczy pół punktu procentowego przewagi. Zła: przy skalpowaniu, gdzie W spada do 6 pipsów, ten sam wzór daje 55%, a przy W = 2 pipsy — 65%. Im krótszy horyzont, tym większą część ruchu zjada koszt, i tym bliżej jesteś sytuacji, w której musisz mieć rację prawie zawsze. Stąd nasze okno 9:30–16:45: nie dlatego, że jest magiczne, tylko dlatego, że mianownik jest w nim duży.

6 · Kontra: Lo i MacKinlay

Hipoteza ma poważnych przeciwników, i nie są to sprzedawcy kursów. Andrew Lo (MIT) i A. Craig MacKinlay opublikowali w 1988 roku test ilorazu wariancji, a w 1999 książkę o wymownym tytule A Non-Random Walk Down Wall Street, w której odrzucają model czystego błądzenia losowego dla tygodniowych stóp zwrotu z indeksów amerykańskich.

Istotne jest jednak, co dokładnie wykazali: odchylenia od losowości istnieją i są statystycznie istotne, ale małe. Na tyle małe, że przez większość historii mieściły się w kosztach transakcyjnych — czyli były prawdziwe, lecz nie do zarobienia. Odrzucenie hipotezy nie oznacza więc „rynek jest przewidywalny", tylko „rynek jest odrobinę mniej nieprzewidywalny, niż zakłada model". Cała branża sygnałów, algorytmów i kwantów żyje w tej wąskiej szczelinie.

7 · To samo równanie stosuje się do nas

Uczciwość wymaga skierowania tej matematyki także na własną krzywą wyników. Błąd standardowy zmierzonej skuteczności przy n transakcjach wynosi w przybliżeniu √(p(1−p)/n). Dla p ≈ 0,5:

Liczba rozliczonych sygnałów	Błąd standardowy skuteczności	Co to znaczy
6	± 20,4 pkt proc.	nie znaczy nic
25	± 10,0 pkt proc.	nadal nic
100	± 5,0 pkt proc.	pierwszy sygnał życia
400	± 2,5 pkt proc.	można rozmawiać

Żeby odróżnić skuteczność 55% od 50% z rozsądną pewnością, potrzeba około czterystu rozliczonych transakcji — przy jednej sesji dziennie to ponad półtora roku. Każdy, kto po dwudziestu transakcjach ogłasza, że system działa, mówi w istocie o szumie. Dotyczy to również nas: dopóki licznik w zakładce Realizacje pokazuje kilkanaście pozycji, jest to ciekawostka, a nie dowód. Publikujemy ją mimo to, dzień po dniu, bez kasowania — bo jedyny sposób, żeby po roku mieć wiarygodną statystykę, to zacząć zbierać ją wtedy, kiedy jeszcze niczego nie dowodzi.

To także powód, dla którego nie obiecujemy prawdopodobieństw rzędu 90%. Gdyby model potrafił je uzyskać, hipoteza błądzenia losowego byłaby obalona nie przez MIT, tylko przez stronę internetową z licznikiem. Bardziej prawdopodobne jest, że taki licznik jest po prostu nieuczciwy.

8 · Źródła

• Tekst źródłowy: Hipoteza błądzenia losowego na Forexie, forexrandomwalk.blogspot.com, październik 2011 — opracowanie zbierające hasła „hipoteza błądzenia losowego", „błądzenie losowe" i „ruchy Browna" z polskiej Wikipedii (licencja CC BY-SA).
• L. Bachelier, Théorie de la spéculation, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, 1900.
• B. G. Malkiel, A Random Walk Down Wall Street, W. W. Norton, wyd. I 1973 (pol. Błądząc po Wall Street).
• A. W. Lo, A. C. MacKinlay, Stock Market Prices Do Not Follow Random Walks: Evidence from a Simple Specification Test, Review of Financial Studies, 1988; oraz A Non-Random Walk Down Wall Street, Princeton University Press, 1999.
• G. Pólya, Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Straßennetz, Mathematische Annalen, 1921 — twierdzenie o powracalności błądzenia w 1, 2 i 3 wymiarach.
• A. Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung..., Annalen der Physik, 1905 — formalny opis ruchów Browna zaobserwowanych przez R. Browna w 1827 r.

Wartości ATR, spreadu i zasięgu sesyjnego użyte w przykładach są wielkościami przybliżonymi, przyjętymi na potrzeby obliczeń. Rzeczywiste parametry różnią się w zależności od instrumentu, brokera i warunków rynkowych.